И что можно сделать, если нет?

Алена, добрый день! Самое главное, что вы оформляли договор по действующей прописке на момент подписания. Смена места регистрации по месту жительства не влияет на действительность договора. Чтобы стразовая компания изменила в своей базе данные собственника автомобиля, вы можете обратиться к ним, когда будет новая прописка. Делается данная процедура бесплатно и она не обязательно, лишь для вашего спокойствия. 

Здравствуйте! страховку ОСАГО необходимо сменить в том случае, если вы полностью заменили ПТС (получив дубликат, а не внеся изменения в действующий) либо если поменяли водительское удостоверение. Внимательно почитайте условия договора со страховой, возможно есть пункт, что вы обязаны уведомить о изменениях (адреса регистрации).

С уважением, Наталья.