Вроде там нужна доверенность, а можно без неё?

Здравствуйте. 

Передать заявление через другого человека можно, однако в этом случае у него должна быть доверенность на представление Ваших интересов. 

Самое подходящее Вам в Вашей ситуации, на мой взгляд, это отправить такое заявление по почте (ценным письмом с уведомлением о вручении), при этом в самом заявлении указать, что предупредить за две недели Вы не могли по уважительным причинам. 

Трудовую книжку Вы можете как забрать самолично, так и попросить прислать Вам ее по почте, либо передать Вашему представителю(по доверенности). 

Удачи.