Давать ли временную регистрацию гражданке Украины с детьми?

В общем , ситуация следующая. У нас был развод с супругом в июне. Разошлись без спора. Без раздела имущества. Я не подавала на алименты. У нас 2-е несовершеннолетних детей. Их, при разводе, супруг оставил со мной. Еще имеется квартира, взятая в ипотеку. Квартира взята в общую собственность (не в долевую и не разделена по долям после развода). Первоначальный взнос за нее мы оплачивали с совместного бюджета, с продажи предыдущей, купленной в браке, квартиры. Ипотечный договор оформлен на меня , я - основной заемщик, супруг созаемщик. Договор ипотеки, после развода, мы также не переоформляли, т.к. мой доход составляет на данный момент 60 т.р. (супруга - более 200 т.р.) , и супруг убедил меня , что банк не будет оформлять на меня только договор с таким доходом. Этот вопрос я не уточняла с банком. В моей собственности (в долях с моим дедом была еще одна квартира). Ее я продала, составив на бывшего супруга ген доверенность на оформление сделки, и получение денег от нее. В моей квартире жила моя мама, дедушка и бабушка. Все они сейчас живут со мной и моими детьми в квартире, на которую оформлена ипотека. Расписки в получении денег за квартиру от бывшего супруга я не получала. Устная договоренность заключалась в том, что он не претендует на долю в той квартире, где мы сейчас живем. Сейчас раздел имущества мы не производим, но и от своей доли он фактически не отказался (устная договоренность состояла в том, что по достижении детьми совершеннолетия, он перепишет свою долю на детей). У меня несколько вопросов. Могу ли я доказать, что деньги с продажи моей квартиры, супруг забрал себе? Может ли бывший супруг продать без моего ведома свою долю в квартире ? При учете того, что мы в ней живем своей семьей и это наше единственное жилье? Если с бывшим супругом что то случится, его нынешняя супруга имеет право наследования на его долю в нашей квартире? Может ли супруг забрать у меня детей? Имеет ли смысл подавать на алименты и на раздел имущества?