И как правильно себя вести в такой ситуации?

Здравствуйте Лина!

Сообщаю Вам, что в соответствии со ст. 67 Трудового кодекса РФ трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
Так же, если Вы на испытательном сроке, то в соответствии со ст. 71 Трудового кодекса РФ если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.
Итак, стажируясь Вы приступили к работе с ведома и по поручению работодателя, то есть трудовой договор считается заключенным, но при этом работодатель нарушает трудовое законодательства, не подписав с Вами трудового договора. Требования работодателя отрабатывать законно, но при этом если Вы на испытательном сроке, срок уведомления работодателя три дня.
Рекомендую Вам обратиться к работодателю с просьбой уволить Вас сразу, предупредив его о Вашей возможности обратится в Государственную инспекцию труда Вашего субъекта с заявлением о нарушенных Ваших трудовых правах, в частности не заключение трудового договора в письменном виде. Так же сославшись на ст. 80 Трудового кодекса РФ, где предусмотрено, что в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
Если Вы желаете получить более подробную консультацию по данному вопросу, либо у Вас имеется другой вопрос в области трудового права, то можете обратиться ко мне в чат. Услуги в чате оказываются на платной основе.
С уважением, Владимир!