Бабушка повезет ребенка в другой город, нужна ли какая-либо доверенность в этом случае?

Здравствуйте, Анна!

В Ст. 20 ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию», четко прописано:

Если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из РФ без сопровождения родителей, усыновителей, опекунов или попечителей, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд с указанием срока выезда и государств, которые он намерен посетить.

Таким образом оформление доверенности носит обязательный характер лишь в случаях выезда и страны.  Что касается поездки внутри страны, то здесь четких позиций закона нет. Однако предлагаю ознакомиться с частью тех вопросов, которые могут возникнуть при отсутствии доверенности.
 П. 30, «Правила оказания услуг по перевозкам на железнодорожном транспорте пассажиров, а также грузов, багажа и грузобагажа для личных, семейных, домашних и иных нужд, не связанных с осуществлением предпринимательской деятельности», утверждены Постановлением Правительства РФ №111 от 02.03.2005 г.: 

Не допускается проезд детей в возрасте до 10 лет в поездах дальнего следования без сопровождения взрослых, за исключением случаев проезда учащихся, пользующихся железнодорожным транспортом для посещения общеобразовательных учреждений».

 П.104 «Общие правила воздушных перевозок пассажиров, багажа, грузов и требования к обслуживанию пассажиров, грузоотправителей, грузополучателей», утверждены Приказом Минтранса России №82 от «28» июня 2007 г.:

Дети в возрасте от 2 до 12 лет перевозятся в соответствии со следующими условиями:1- в сопровождении совершеннолетнего пассажира или пассажира, который в соответствии с гражданским законодательством РФ приобрел дееспособность в полном объеме до достижения им 18 лет; 2- без сопровождения указанного пассажира под наблюдением перевозчика, если такая перевозка предусмотрена правилами перевозчика.

П. 105 правил: 

несопровождаемые дети в возрасте от 2 до 12 лет могут перевозиться под наблюдением перевозчика только после оформления родителями, усыновителями, опекунами или попечителями в соответствии с правилами перевозчика письменного заявления на перевозку несопровождаемого ребенка.

Теперь что касается проживания в гостиницах и т.д.:
П.21 «Правила предоставления гостиничных услуг в Российской Федерации», утверждены Постановлением Правительства РФ №1085 от 09.10.2015 г.: 

Регистрация в гостинице несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста, осуществляется на основании документов, удостоверяющих личность находящихся вместе с ними родителей, усыновителей, опекунов, или близких родственников, сопровождающего лица (лиц), документа, удостоверяющего полномочия сопровождающего лица (лиц), а также свидетельств о рождении этих несовершеннолетних.

Так же у Вас могут возникнуть проблемы с нахождением ребенка в общественном месте без сопровождения родителей (законных представителей) в вечернее время. В соответствии со ст. 26, 28 ГК РФ, ст. 64 Семейного кодекса РФ (далее – СК РФ) законными представителями несовершеннолетних являются родители, усыновители, опекуны и попечители.
Решение остаётся за Вами, но слишком много ограничений из-за отказа от оформления одного документа.

Удачи Вам!