Как происходит распределение долей в УК ООО и введение нового участника в ООО?

Добрый вечер, Жанна!
В первую очередь необходимо обратиться к Вашему уставу, и убедиться что в нем нет запрета на переход доли третьим лицам.
В целом, нет какой-либо взаимозависимости между распределением долей между участниками Общества, и введением нового участника, поэтому данные процедуры могут быть совершены в любом порядке. Однако прежде необходимо понять, каким образом Вы этого нового участника хотите ввести.
По моему мнению у вас есть два варианта:
1. Приобретение третьим лицом долей вышедших из Общества участников.
Согласно п. 6 ст. 24 ФЗ «Об ООО», процедура выхода участника общества из состава его учредителей допускает продажу доли вышедшего участника третьим лицам до момента официальной регистрации соответствующих изменений в регистрирующем органе. 
То есть те доли, которые перешли к Обществу в результате выхода трех участников, могут быть предложены к покупке третьему лицу, не входящему в Общество (п. 2 ст. 24 ФЗ «Об ООО»). 
В данном случае процедура регистрации изменений будет состоять из следующих этапов:

1. ·  Принятие решения о продаже долей вышедших участников, перешедших Обществу, третьему лицу, не входящему в Общество. Такое решение принимается всеми оставшимися участниками Общества единогласно (п. 4 ст. 24 ФЗ «Об ООО»). Доли, перешедшие к Обществу в результате выхода участников, обычно продаются по цене, которая не ниже действительной стоимости долей, выплаченных Обществом участникам при их выходе. Однако такая цена может быть изменена по единогласному решению всех участников Общества;
2. ·  Оплата долей третьим лицом. Доли вышедших участников, проданные обществом третьему лицу, должны быть оплачены лицом, их приобретающим, в течение месяца;
3. ·  Регистрация изменений, связанных с продажей долей. Поскольку изменения в ЕГРЮЛ вследствие продажи перешедших к обществу долей не связаны с внесением изменений в учредительные документы ООО, то заявление в регистрирующий орган подается по форме N Р14001.

2. Вступление третьего лица в Общество путем внесения им вклада в уставный капитал.
Вступление нового участника (третьего лица) в Общество, путем внесения им вклада в уставный капитал Общества предусмотрено п. 2 ст. 17, п. 2 ст. 19 ФЗ «Об ООО». 
В данном случае процедура будет состоять из следующих этапов:

• Подача лицом, желающим вступить в Общество, заявления с указанием размера и состава вклада, порядка и срока его внесения, размер доли, которую это лицо хотело бы получить в уставном капитале общества в результате внесения вклада;
• Принятие общим собранием участников Общества единогласного решения об увеличении уставного капитала Общества, принятии третьего лица в Общество, внесении в связи с увеличением уставного капитала изменений в устав Общества, определении номинальной стоимости и размера доли третьего лица, изменении размеров долей участников Общества;
• Внесение вклада принятым участником в течение 6 месяцев со дня принятия общим собранием участников Общества решения об увеличении уставного капитала.
• Государственная регистрация произведенных изменений осуществляется в течение месяца со дня внесения дополнительных вкладов третьим лицом. Поскольку введение нового участника в Общество сопряжено с изменением размера уставного капитала и требует внесения изменений в устав Общества, регистрация таких изменений в ЕГРЮЛ производится в порядке, установленном для регистрации изменений, связанных с изменением учредительных документов юридического лица.

Соответственно, пакет документов, необходимый для подачи в регистрирующий орган, зависит от того, какой из этих двух вариантов Вы выберете.