Можно ли провести игру на основе уже существующей, изменив название и атрибутику?

Здравствуйте, Николай!
Наименование «Что? Где? Когда?» зарегистрировано в качестве товарного знака (Код ФИПС: 265600, правообладатель: ООО «Продюсерский центр „Игра-ТВ“).

Это означает, что это наименование при проведении своей игры Вы использовать не можете.

Однако это никоим образом не означает, что Вы не можете проводить саму игру. Дело в том, что игра — это идея или процесс. А согласно п.5. ст.1258 ГК РФ,

Авторские права не распространяются на идеи, концепции, принципы, методы, процессы, системы, способы, решения технических, организационных или иных задач, открытия, факты, языки программирования, геологическую информацию о недрах.

Что именно означает свидетельство РАО — неизвестно. РАО не занимается регистрацией, т.к. в соответствии с п.4. ст.1259 ГК РФ,

Для возникновения, осуществления и защиты авторских прав не требуется регистрация произведения или соблюдение каких-либо иных формальностей.

РАО занимается депонированием. Процедура депонирования ни коим образом не подтверждает интеллектуальные права. Депонирование лишь помогает определить, что на определенную дату за депонированием обратилось определенное лицо и назвалось при этом правообладателем. РАО может задепониировать только произведения. Видимо (остается лишь догадываться), игра „Что? Где? Когда?“ при депонировании была представлена в виде какого-то произведения. Но и в этом случае полагаю, что Вы можете проводит игру под другим названием. В силу п.3. ст.1270 ГК РФ,

Практическое применение положений, составляющих содержание произведения, в том числе положений, представляющих собой техническое, экономическое, организационное или иное решение, не является использованием произведения...