Смогу ли я восстановить утерянный военный билет по временной регистрации?

Здравствуйте, Сергей!

Да. Сможете, если встанете на воинский учет по месту фактического жительства. Регистрация не обязательна.

Согласно пп. «д» п. 50 Постановления Правительства РФ от 27.11.2006 N 719 (ред. от 16.03.2019) «Об утверждении Положения о воинском учете»

 Граждане, подлежащие воинскому учету, обязаны:

д) сняться с воинского учета при переезде на новое место жительства или место пребывания (на срок более 3 месяцев), а также при выезде из Российской Федерации на срок более 6 месяцев и встать на воинский учет в 2-недельный срок по прибытии на новое место жительства, место пребывания или возвращении в Российскую Федерацию;

При этом не важно, есть у вас  прописка или нет.

См. п.2 ст.10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»
Воинский учет граждан, за исключением граждан, указанных в пункте 3 настоящей статьи, осуществляется военными комиссариатами по месту их жительства, а граждан, прибывших на место пребывания на срок более трех месяцев или проходящих альтернативную гражданскую службу, — по месту их пребывания.
Отсутствие у граждан регистрации по месту жительства и месту пребывания не освобождает их от обязанности состоять на воинском учете и не может служить основанием для отказа в постановке их на воинский учет.