Здравствуйте, Нина!
Конечно можно, здесь целый «букет» нарушений со стороны работодателя. Но ключевой момент — наличие и условия трудового договора. Можете изложить все выявленные нарушения в письменном виде и вручить запрос работодателю с требованием устранить их в течение такого-то времени и представить доказательства устранения. В противном случае обратитесь в трудовую инспекцию, а также налоговую, фонд социального страхования, прокуратуру, суд.