Смогу ли я поступить на военную контрактную службу в пограничные войска ФСБ России?

Добрый вечер.

Да, сможете. Закон не содержит каких-либо ограничений на этот счет.

Федеральный закон от 03.04.1995 N 40-ФЗ
«О Федеральной службе безопасности»

Сотрудником органов федеральной службы безопасности может быть гражданин Российской Федерации, не имеющий гражданства (подданства) иностранного государства, способный по своим личным, профессиональным и психологическим качествам, возрасту, образованию и состоянию здоровья исполнять возложенные на него обязанности. Квалификационные требования к уровню образования, стажу, профессиональным знаниям и навыкам, необходимым для исполнения должностных обязанностей сотрудника органов федеральной службы безопасности, устанавливаются руководителем федерального органа исполнительной власти в области обеспечения безопасности или уполномоченными им должностными лицами.
Граждане Российской Федерации не могут быть приняты на службу или на работу в органы федеральной службы безопасности, а военнослужащие и гражданский персонал органов федеральной службы безопасности могут быть уволены со службы или с работы по основаниям, предусмотренным законодательством Российской Федерации, либо в случае:
а) наличия вида на жительство или иного документа, подтверждающего право на постоянное проживание на территории иностранного государства;
б) отказа от прохождения обязательной государственной дактилоскопической регистрации, процедуры проверки или оформления допуска к сведениям, составляющим государственную тайну, обязательного опроса с использованием технических и иных средств, не наносящих ущерба жизни и здоровью людей и не причиняющих вреда окружающей среде, обязательного обследования на предмет употребления наркотических средств и психотропных веществ;
в) наличия судимости в настоящее время или в прошлом, в том числе снятой или погашенной, если в отношении их прекращено уголовное преследование за истечением срока давности, в связи с примирением сторон, вследствие акта об амнистии или в связи с деятельным раскаянием;
г) непредставления документов или сведений, подлежащих обязательному представлению в соответствии с нормативными правовыми актами Российской Федерации и нормативными правовыми актами федерального органа исполнительной власти в области обеспечения безопасности, либо представления подложных документов или заведомо ложных сведений;
д) наличия зарегистрированного за пределами Российской Федерации права собственности на имущество, если это не обусловлено решением задач оперативно-служебной деятельности;
е) если они являются членами политических партий и иных общественных объединений, преследующих политические цели, и (или) участвуют в их деятельности;
ж) употребления ими наркотических средств или психотропных веществ без назначения врача.

Исключения могут иметь случаи, если Вы претендуете на должность замещение которой связано с допуском к государственной тайне.

Статья 22

Основаниями для отказа должностному лицу или гражданину в допуске к государственной тайне могут являться:
постоянное проживание его самого и (или) его близких родственников за границей и (или) оформление указанными лицами документов для выезда на постоянное жительство в другие государства;