Как назначить исполнительного директора с правом подписи, в связи со смертью генерального директора?

Но, при этом, в Вашем случае в соответствии с пп. «а» п. 1.3 ст. 9 Федерального закона от 08.08.2001 N 129-ФЗ «О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей» (далее — Закон N 129-ФЗ) при государственной регистрации юридических лиц заявителем может выступать исключительно руководитель постоянно действующего исполнительного органа регистрируемого юридического лица или иное лицо, имеющие право без доверенности действовать от имени этого юридического лица.

Тем не менее действующим законодательством право единоличного исполнительного органа общества на передачу своих функций по доверенности другим лицам напрямую не ограничивается.
Поэтому формально в приведенной ситуации общество может функционировать и в отсутствие генерального директора. Однако в зависимости от конкретных обстоятельств (например необходимость осуществления полномочия, не указанного в доверенности, имеющейся у заместителя) его избрание может потребоваться.
3. На основании ст. 1110, п. 1 ст. 1112, п. 1 ст. 1176 ГК РФ, п. 8 ст. 21 Закона об ООО в случае смерти участника ООО доля в уставном капитале общества входит в состав наследства и переходит к наследникам участника общества, если иное не предусмотрено уставом ООО.
До принятия наследником умершего участника общества наследства управление его долей в уставном капитале общества осуществляется в порядке, предусмотренном ГК РФ (п. 8 ст. 21 Закона об ООО).
В соответствии со ст. 1173 ГК РФ, если в составе наследства имеется имущество, требующее не только охраны, но и управления (в том числе доля в уставном капитале ООО), нотариус, в соответствии со ст. 1026 ГК РФ, в качестве учредителя доверительного управления заключает договор доверительного управления имуществом (смотрите также п. 56постановления Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 N 9 «О судебной практике по делам о наследовании»).
В соответствии с п. 1 ст. 1020 ГК РФ доверительный управляющий осуществляет в пределах, предусмотренных законом и договором доверительного управления имуществом, правомочия собственника в отношении имущества, переданного в доверительное управление. Таким образом, доверительный управляющий, действующий в интересах наследника, будет осуществлять все права и обязанности единственного участника общества до принятия наследником наследства. В отсутствие же назначенного нотариусом доверительного управляющего до перехода доли в уставном капитале общества к наследнику умершего участника назначить нового руководителя общества невозможно.