Скажите, при составлении договора на оказание возмездных услуг нужно ли в поле реквизиты для оплаты указывать дату моего рождения?

Здравствуйте! Эти данные не являются обязательными, думаю заказчик хочет указать данные о дате Вашего рождения ( не в самих реквизитах для оплаты, а просто где реквизиты сторон), для того, чтобы были полные данные для подачи искового заявления в случае возможного судебного разбирательства. 

С другой стороны, согласно ч. 2 ст. 131 ГПК РФ

В случае, если истцу неизвестны дата и место рождения ответчика, один из идентификаторов ответчика, об этом указывается в исковом заявлении и такая информация по запросу суда предоставляется органами Фонда пенсионного и социального страхования Российской Федерации, и (или) налоговыми органами, и (или) органами внутренних дел.

Включите в реквизиты сторон дату рождения, если заказчик настаивает, проблемы не вижу, если честно.