Имеет ли этот договор законну силу и могут ли по нему взыскать долг через суд?

Отсутствие подписи в Вашем экземпляре договора не свидетельствует о том, что Вашей подписи нет в их договоре (достаточно подписи в одном экземпляре для действительности). И даже если фактически не было никакого документа, но из действий следует что Вы приняли товар или услуги и воспользовались ими, то считается что обязательство надлежащим образом исполнено, хоть и не оформлено документом и тогда есть право требовать и возмещения своих расходов (если они озвучивались до передачи товара или услуги). Общий срок исковой давности 3 года (в Вашем случае он считается с момента получения Вами вещи или услуги)