Есть ли право проживания в квартире без регистрации?

Ответ прямо — может. Потому что, местом жительства ребёнка является место проживания родителя, где он постоянно или преимущественно проживает. Обратите внимание, что Гражданскиц кодекс РФ не связывает место проживания родителя с местом его регистрации. 

Исходя из изложенного, место жительства ребёнка не может не быть местом жительства родителя. 

Следовательно, даже ребёнок и остался прописанным по какому-то адресу, то это не означает, что не должен быть с матерью.