Может ли полиция возбудить дело без заявления потерпевшего?

Да. Может. По широкому кругу оснований. Одно из них предусмотрено указанной Васи статьей 264 УК РФ.
И называется она иначе.

Статья 264. Нарушение правил дорожного движения и эксплуатации транспортных средств
[Уголовный кодекс РФ] [Глава 27] [Статья 264]
1. Нарушение лицом, управляющим автомобилем, трамваем либо другим механическим транспортным средством, правил дорожного движения или эксплуатации транспортных средств, повлекшее по неосторожности причинение тяжкого вреда здоровью человека, — наказывается ограничением свободы на срок до трех лет, либо принудительными работами на срок до двух лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового.
2. Деяние, предусмотренное частью первой настоящей статьи, совершенное лицом, находящимся в состоянии опьянения, повлекшее по неосторожности причинение тяжкого вреда здоровью человека, — наказывается принудительными работами на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет либо лишением свободы на срок до четырех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет.
3. Деяние, предусмотренное частью первой настоящей статьи, повлекшее по неосторожности смерть человека, — наказывается принудительными работами на срок до четырех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет либо лишением свободы на срок до пяти лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет.
4. Деяние, предусмотренное частью первой настоящей статьи, совершенное лицом, находящимся в состоянии опьянения, повлекшее по неосторожности смерть человека, — наказывается лишением свободы на срок от двух до семи лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет.
5. Деяние, предусмотренное частью первой настоящей статьи, повлекшее по неосторожности смерть двух или более лиц, — наказывается принудительными работами на срок до пяти лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет либо лишением свободы на срок до семи лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет.
6. Деяние, предусмотренное частью первой настоящей статьи, совершенное лицом, находящимся в состоянии опьянения, повлекшее по неосторожности смерть двух или более лиц, — наказывается лишением свободы на срок от четырех до девяти лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет.
Примечание. Утратило силу.
Примечания. 1. Под другими механическими транспортными средствами в настоящей статье и статье 264.1 настоящего Кодекса понимаются трактора, самоходные дорожно-строительные и иные самоходные машины, а также транспортные средства, на управление которыми в соответствии с законодательством Российской Федерации о безопасности дорожного движения предоставляется специальное право.
2. Для целей настоящей статьи и статьи 264.1 настоящего Кодекса лицом, находящимся в состоянии опьянения, признается лицо, управляющее транспортным средством, в случае установления факта употребления этим лицом вызывающих алкогольное опьянение веществ, который определяется наличием абсолютного этилового спирта в концентрации, превышающей возможную суммарную погрешность измерений, установленную законодательством Российской Федерации об административных правонарушениях, или в случае наличия в организме этого лица наркотических средств или психотропных веществ, а также лицо, управляющее транспортным средством, не выполнившее законного требования уполномоченного должностного лица о прохождении медицинского освидетельствования на состояние опьянения в порядке и на основаниях, предусмотренных законодательством Российской Федерации.

Полиция возбудила уголовное дело на законном основании — нарушение лицом, управляющим автомобилем правил дорожного движения повлекшее по неосторожности причинение тяжкого вреда здоровью человека

Полиция права, если у пострадавшего установлен тяжкий вред здоровью. Братьям в суде надо примириться и с большой вероятностью дело прекратят.